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 系
統
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上周提及，要記得牢先要是有信心，第二，一定要有自己的記憶方法，不是人云亦云。
記憶，如果要成為有用的資料，是要經過幾個程序的。Encode
(編碼) → Storage
(儲存) → Decode
(解碼) → Vocalize
(發聲)。
Encode
即是把信息變成我們大腦可以裝載的方法,，Storage
是怎樣在大腦儲存得更久，Decode
即是怎樣在大腦的系統內取出所需要的東西，Vocalize
是怎樣把記憶的信息表達出來。只有這樣，我們的記憶才變得有意義。可是，我們大部分人，都只是注重第一步而已。
事實是，如果在以上的任何一步出現問題，記憶的資料形同廢物。我們的記憶系統，好像一個圖書館。先是採書，然後是分類收藏，然後讓讀者找到，利用有關的資料；到這一步，圖書館若是一個精靈，它會感動，因為它大功告成，完成使命。
要有效的記住事情，首要注意的，是不要做徒勞無功的事情。我們一開始記憶，就要有一個目的。如果你記東西的時候只是想人記我也要記之類的想法，或者你打開書本只是看看，根本沒想過自己要記些甚麼，我看你的記憶好不到那裡。
先說
encoding。在
encoding
的過程中，要心無旁騖地吸取資料，如果你的桌子上堆滿了東西，你的思維不會清晰，你的記憶不會有效。如果你不相信我的話，你自己留意一下，不少成功人士，他們的桌子都是很少東西的。有一些人，甚至沒有東西。我不說他們的名字，免得你對他們有偏見，誤了自己的記憶大事。
有人在桌上擺滿祝福鼓勵的東西，以為可以提高士氣，但我不怕告訴你，如果你連這麼精警的提醒也記不了，或要像吸毒一樣要不斷地吸反覆地吸，那你甚麼也不用記了。
(超越記憶‧五之二) |
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(網主的親身體驗：分別有兩隻不同的小蜜蜂，某天，第一隻小蜜蜂飛到我家露台的晾衣服的竹篙尾的小孔旁徘徊，良久也不離去；第二天這隻小蜜蜂分別在上、下午也飛回來同樣位置徘徊，我好奇下，察覺到竹篙尾的那個小孔好像一個六角形的蜂巢...難道牠迷途 or 另覓新居？
體驗二：網主在電腦前一邊造網頁，一邊吃蛋糕，忽然耳邊傳來嗡嗡的飛鳴聲，原來是一隻小蜜蜂也想來分一杯羹，我便把一小片蛋糕放在檯邊讓牠吃(牠在蛋糕上徘徊，我不知牠有沒有吃)...第二天及第三天牠都在差不多的時間飛回來電腦前向我討食物...哈哈~哈哈~太有趣了。由此觀之，蜜蜂的記性良好，還是認路專家)
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蜜蜂是很聰明的小昆蟲，牠們在地球上出現至少已有八千萬年的歷史，牠們永遠不會迷途，幾乎每次飛行的路線都是一樣，證實牠們的記性很好。
蜜蜂跟人類的生活關係密切，蜜蜂採花釀蜜，生產花粉、蜂蠟、蜂王乳，並且幫忙植物散播花粉，傳宗接代。 |
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蜜蜂又跟數學結下不解之緣，很少有其他的昆蟲像蜜蜂這麼奇妙。蜜蜂所牽涉到的數學，相當深刻而有意思，例如：蜂舞與極坐標、雄蜂譜系與
Fibonacci
數列、蜂巢的極值原理。在大自然的巧妙安排下，蜜蜂「不知亦能行」地遵循這些數學法則，實在令人驚奇。 |
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在西元1000至1500年之間，印度最著名的數學家婆什迦拉（Bhaskara, 1114～約1185年）寫了一本數學書，叫做《麗羅娃蒂》(Lilavati)，其中有一題以蜜蜂為主角。 |
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帶著美麗眼睛的少女──麗羅娃蒂，請你告訴我：
茉莉花開香撲鼻，誘得蜜蜂忙採蜜，
熙熙攘攘不知數。全體之半平方根，
飛入茉莉花園裡。總數的九分之八，
徘徊園外做遊戲。另外有一隻雄蜂，
循著蓮花的香味，進入花朵中被困。
一隻雌蜂來救援，環繞於蓮花周圍，
悲傷地飛舞低泣。問蜂群共有幾隻？
其實這是一題代數式的應用題。
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蜜蜂工作很勤奮，從不偷懶，採蜜是工蜂最繁重的工作。首先是派出一些工蜂做偵察蜂 (explorer)，到處去找尋蜜源。當偵察蜂發現採蜜的地點時，回巢要如何告知同伴呢？這就是描述地點的問題。蜜蜂不會說話，如何解決這個難題呢？然而蜜蜂沒有「語言」，怎麼辦呢？牠們有「跳舞語言」(the dance language)，以跳舞的方式來傳遞訊息，描述地點。 |
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奧地利動物學家 Karl von Frisch（1886～1982）就是專門研究蜜蜂的跳舞語言與定向 (orientation) 而有成的人，他懂得「蜂語」，故被譽為「現代公冶長」（公冶長聽得懂「鳥語」）。由於對個別動物及其社會行為規律的研究有卓著的貢獻，Frisch 與德國的 Konrad Lorenz、荷蘭的 Nikolaas Tinbergen 在1973年一起得到諾貝爾生理學暨醫學獎。 |
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根據 Frisch 的研究，當偵察蜂發現一處蜜源時，牠飛回巢就先放出氣味，並且在垂直的蜂巢表面上跳舞。基本上分成兩種舞步：圓舞與搖尾舞。
如果蜜源距離蜂巢超過100公尺，則跳搖尾舞。先走一小段直線路徑，再繞半圓，回到原出發點，然後走原直線路徑，再對另一側繞半圓，如此規律地反覆交替繞半圓。在走直線路徑時，還不斷地搖擺牠的下腹，這是「搖尾舞」名稱的由來。在1947年發現蜜蜂利用極化光來定向。 |
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由下面的數據我們可以體會到工蜂的辛苦與勤勞。工蜂採集10公斤的花蜜才能釀造出半公斤的蜂蜜，而工蜂必須出動八萬次，每次平均飛行兩公里才能採集到10公斤的花蜜。換言之，每釀造1公斤的蜂蜜，必須飛行32萬公里，大約是繞地球8圈的距離。 |
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我們提到過，雄蜂是由未受精的卵孵化出來的，故只有母親而沒有父親。進一步，我們考慮雄蜂的譜系，如圖一，我們發現一隻雄蜂歷代祖先的個數，形成一個費氏數列 (Fibonacci sequence)：1,1,2,3,5,8,13...
即由首兩項 1, 1 出發，任何一個後項都是前兩項之和。更有趣的是，若各代祖先適當排列的話，第七代的13位祖先恰好可以排成鋼琴八度音之間的13個半音階（8個白鍵，5個黑鍵）。
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除了雄蜂譜系之外，費氏數學在植物世界偶爾也可以觀察到。有些花草或樹木，其枝幹的分枝成長符合費氏數列的模式，如圖二所示。 |
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你以後到野外郊遊或登山時，可以留意觀察或找尋看看有沒有符合費氏數列的樹木。筆者曾在登七星山的途中，發現一棵非常「費氏數列」的樹木。懷著一個問題或目標走入大自然，我們才能真正觀察到東西，生活也會更積極主動。 |
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自古以來，人類對於蜜蜂的勤勞以及蜂巢的巧妙精準，無不讚揚有加。從生物學的祖師爺亞里斯多德 (Aristotle)，到數學家 Pappus，以及近代的博物學家達爾文 (Darwin) 都曾留下讚美的語句。
工蜂分泌蜂蠟築成蜂巢，做為后蜂產卵、育幼，以及存放蜂蜜、花粉的儲藏室。從正面看起來，蜂巢是由許多正六邊形的中空柱狀儲藏室連結而成。 |
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人類對於蜂巢的結構，由觀察產生驚奇，進而提出兩個數學問題：
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(i)為何是正六邊形？
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(ii)底邊為何是三個全等的菱形面組成？
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亞歷山卓 (Alexandria) 的幾何學家 Pappus，約在西元300年出版一套八冊的《數學文集》(Mathematical Collection)，其中第五冊討論等周問題及蜂巢結構問題。他特別稱讚蜜蜂「依本能智慧作論證」(reason by instinctive wisdom) 的本領，天生俱有的「某種幾何的洞悟力」(a certain geometrical foresight)。
在1712年，巴黎天文觀測所的天文學家 G.F. Maraldi，他實際度量菱形的角度，得到的結果是 70°32' 與 109°28'。Maraldi 實地叩問自然，並且相信蜜蜂是根據單純 (simplicity) 與數學美 (mathematical beauty) 兩個原理來築巢。
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Maraldi 的結果引起法國著名的博物學家 Reaumur
的興趣，他猜測蜜蜂選擇這兩個角度一定是有原因的，可能就是要在固定容積下，使得表面積為最小，即以最少的蜂蠟作出最大容積的儲藏室。因此，Reaumur
就去請教瑞士年輕的數學家 Samuel König 如下的問題： |
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給定正六角形柱，底部由三個全等的菱形作成，問應如何做會最節省材料？
一直等到 König 把算得的結果 70°34" 與
109°26" 送到
Reaumur 的手裡，Reaumur
才告訴 König 關於蜂巢與
Maraldi 的實測結果。他們對於理論與實測的結果僅相差
2"，同感震驚。König 的結果支持了
Reaumur
的猜測：蜜蜂是按「最經濟原理」來行事。König
利用微分法解決上述的極值問題，他說：「蜜蜂所解決的問題，超越古典幾何的能力範圍，而必須用到
Newton
與
Leibniz
的微積分。」然而，一代博學者
Fontenelle（法國科學院永久秘書）在1739年卻作出著名的判斷，他否認蜜蜂具有智慧，認為蜜蜂只是按照天生自然與造物者的指示，「不知亦能行」地（盲目地）使用高等數學而已。 |
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關於 König 的相差2分問題，後來經過 Cramer、Boscovich、Maclaurin
等人的重算，發現蜜蜂是對的。達爾文稱讚蜂巢為「在已知的僅憑本能的建構中是最令人驚奇的成就」。他又說：「欲超越這樣完美的建構，自然選擇
(natural selection)
是不能達成的，因為就我們所見，蜂巢不論是在勞動力上或蜂蠟的使用上，都符合最經濟的原則，是絕對地完美。」 |
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蜜蜂的針是出於「自衛」才螫人，但是針連著腸子並且有倒鉤，使得蜜蜂刺人一次，腸子就被拉出來，因而喪命。根據研究，蜂毒可能有如下兩種用途：(1)治療風濕關節炎，(2)去除過敏者的敏感作用。看電視曾見過有養蜂者，故意抓起工蜂，往自己身上螫刺的行為，說是要治療風濕症。 |
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在聖經裡提到，上帝將給以色列人一個「流著奶與蜜」的地方，可見蜜蜂在古人（或上帝）心目中占有多麼重要的地位。在生態環境被人類破壞這麼嚴重的今天，我們必須不斷地強調，要平等對待、尊重每一個生命的存在價值，保護環境。當蜜蜂不能生存時，人類大概也會活得很難過吧。 |
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小小的蜜蜂在數學與生物學史上，居然扮演了相當熱鬧的角色，而且表現得那麼完美，真是可圈可點。
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資料來源：
- 1.Von Frisch, K.,《The dance language and
orientation of bees》, Harvard University press, 1967.
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- 2.Vorobyov, N. N.,《The Fibonacci numbers》,
Boston, Heath, 1961.
-
- 3.Thompson, d'Acry W.,《On growth and form,
Abridged edition》, Cambridge University press, 1961.
-
- 4.Huntley, H. E.,《The divine proportion: A
study in mathematical beauty》, Dover, 1970.
-
- 5.Durham, W.,《The mathematical universe》,
John Wiley & Sons, Inc., 1994.
-
- 6.Boyer, C. B.,《A History of Mathematics》,
Revised by U. C. Merzbach. John Wiley & Sons, Inc., 1991.
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- 7.Polachek, Harry,《The structure of the
honeycomb》, Scripta Math., 7, 87-98, 1940.
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I will do like this. |
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